Quanto custa completar o álbum da copa sem trocar figurinhas?

Com a Copa do Mundo se aproximando é comum ver pessoas alvoroçadas e em rodas trocando figurinhas para preencher logo o álbum. Em média, 936 pacotinhos é equivalente a R$ 1.872,00 e os azarados saltam para R$ 2.578 o que significa 1289 pacotinhos. Já os sortudos chegam a R$ 1.478,00, ou seja, 739 pacotinhos.

Em um debate de fim de tarde aqui na Antecipa, software de antecipação de recebíveis, estávamos discutindo quanto deveria custar para completar o álbum da copa sem trocar nenhuma figurinha. No lugar de um debate sem fim, resolvemos escrever um pequeno código usando a técnica de Monte Carlo, classe de métodos estatísticos que se baseiam em amostragens aleatórias massivas para obter resultados numéricos, e assim resolver a questão.

Gostamos muito de utilizar essa técnica que teve sua versão moderna desenvolvida durante o projeto da bomba atômica americana de Manhattan. Os físicos do projeto se depararam com alguns problemas, como difusão de nêutrons, que não estavam conseguindo achar a solução usando métodos determinísticos e Stanislaw Ulam, vendo os computadores avançados da época, aperfeiçoou essa técnica para achar a solução usando métodos aleatórios [também conhecida como força bruta, faz um monte de conta até achar o resultado.

Basicamente o que se faz em uma simulação de Monte Carlo é simular o processo milhares de vezes até achar uma solução. Usamos isso na Antecipa para situações de performance, portfólios, retornos etc. No caso das figurinhas da copa é basicamente o seguinte:

1. Montar um pacote de figurinhas de forma aleatória e sem repetição
2. Testar o pacote no nosso álbum virtual
3. Se não completar o álbum, voltar ao passo 1.

No nosso caso achamos que completar 10.000 álbuns seriam suficientes para achar o resultado. Na média com em torno de 930 pacotes uma pessoa conseguiria completar o álbum, existem os muito azarados e os muito sortudos. No final da simulação geramos alguns gráficos interessantes. O primeiro é um histograma que mostra o número de pacotinhos que foram utilizados até completar o álbum versus a sua frequência.

Olhando o gráfico acima no eixo x você tem o número de pacotes que foram comprados até completar o álbum e no eixo y o número de pessoas. Da nossa simulação de 10.000 pessoas, 1400 conseguiram completar o álbum comprando aproximadamente 900 pacotinhos.

O que significa esse gráfico? Algo que todo mundo já percebe, mas agora temos um número para validar o nosso sentimento. A cada pacote que você compra, aumenta o número de repetidas. O primeiro pacote que comprarmos tem 100% de aproveitamento, depois disso vai caindo. Até algo em torno de 200 pacotes cai bruscamente de 100% para em torno de 28%. Depois disso a queda é menos gradual. Ou colocando de outra forma:

Das 100 primeiras figurinhas, aproveitamos 86. A cada 100 que compramos diminui o número de figurinhas que conseguimos aproveitar. As últimas 100 somente 16 são aproveitadas na tabela acima. Algo interessante seria determinar uma estratégia ótima de compra. Comprar até quantos pacotes e depois começar a trocar? Vamos deixar essa brincadeira para a próxima copa.

Para quem tiver curiosidade, pode baixar o código do github aqui:
https://github.com/camilotelles/montecarlofigurinhacopa